MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [2.042]

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

FUNDAMENTO.

1 - SE FUNDAMENTA NO POTENCIAL DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES DE ENERGIAS, CAMPOS, ESTADOS E DIMENSÕES DE GRACELI, E MATÉRIA.

2 - E NA RELAÇÃO E INTERAÇÕES DOS ESTADOS E DIMENSÕES DE GRACELI.

3 - E NA RELAÇÃO DE ENTROPIAS POTENCIAIS , E VIBRAÇÕES E MOMENTUNS POTENCIAIS, COMO TAMBÉM NA DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA E BANDAS DOS ELEMENTOS.

UM EXEMPLO CLARO É NAS MUDANÇAS DE ESTADOS FÍSICOS, GASES, E INTERAÇÕES DE CAMPOS.

OU SALTO QUÂNTICOS E FREQUÊNCIAS NOS ÁTOMOS.

EM TERMOS DE AMPLITUDE, E FREQUÊNCIA EXCITAÇÃO HARMÔNICA E POTENCIAL TEMOS>

Onde $F_{0}$ é a amplitude, $\omega$ é a frequência e $\phi$ é o de fase da excitação harmônica. O valor de $\phi$ depende do valor de $F(t)$ em t=0.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $y=Cx+\eta$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] ${\hat {s}}=\arg \min _{s}{\frac {1}{2}}\|C\Psi s-y\|_{2}^{2}+\lambda \|s\|_{1}$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Fundamentação Matemática e Processamento de Sinais

A formação da imagem por ressonância magnética (RM) depende da aquisição de sinais no k-space, uma matriz bidimensional que representa as frequências espaciais da amostra. Cada ponto do k-space contém informações sobre a contribuição harmônica de determinada região do objeto, e a imagem final ( $�$ ) é obtida aplicando-se a Transformada Inversa de Fourier (IFFT) ao conjunto de dados adquiridos ( $�$ ).

Matematicamente, o processo de aquisição pode ser modelado como um sistema linear subdeterminado:

y=Cx+\eta

Onde $�$ é o vetor de intensidades da imagem, $�$ são as medições obtidas, $�$ é a matriz de amostragem e $\eta$ representa o ruído de medição. O desafio da reconstrução reside no fato de que, para acelerar o exame, muitas vezes o número de medições ( $�$ ) é muito menor que o número de variáveis da imagem ( $�$ ), tornando o problema mal-posto sob a ótica da álgebra linear.

Esparsidade e Compressed Sensing

Para recuperar a imagem original, utiliza-se a otimização convexa, especificamente o algoritmo LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator), que busca o vetor mais esparso possível conciliando a fidelidade aos dados com uma penalização de norma $L_{1}$ :

{\hat {s}}=\arg \min _{s}{\frac {1}{2}}\|C\Psi s-y\|_{2}^{2}+\lambda \|s\|_{1}

Esta formulação permite que o problema original de norma $L_{0}$ (intratável computacionalmente) seja resolvido por uma relaxação convexa eficiente, garantindo a estabilidade da reconstrução.

Incoerência e Propriedade de Isometria Restrita (RIP)

Para garantir a reconstrução exata, as medições devem ser "incoerentes", o que na RM é alcançado através de trajetórias de amostragem pseudoaleatórias no k-space. A matriz de medição deve satisfazer a Propriedade de Isometria Restrita (RIP), assegurando que a transformação linear preserve as distâncias entre vetores esparsos, uma aplicação do Lema de Johnson-Lindenstrauss.

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